Ciclóide polar

No momento estou projetando um relógio de sol para um amigo médico que tem uma casa de campo em Itatiba - SP e para fugir um pouco dos horizontais, verticais, equatoriais, etc. resolvi me aventurar com um ciclóide polar. Escolhi este tipo por ser de construção relativamente simples, além ser mecanicamente bastante resistente. A idéia surgiu depois de ler uma nova página no site do Carl Sabanski (aqui - em inglês) que aborda este tipo de relógio.

O relógio de sol ciclóide polar é uma variação do relógio polar tradicional e tem um gnômon em forma de ciclóide. Isso faz com que as linhas horárias sejam igualmente espaçadas facilitando assim o seu traçado.

Mas, o que é uma ciclóide? De acordo com o dicionário Houaiss "... curva descrita por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta", como ilustrado na figura abaixo.

As coordenadas (x, y) de cada ponto da ciclóide são determinadas pelas equações:

x = r ( θ + sen θ )

y = r ( 1 - cos θ )

onde, r é o raio do círculo e θ o ângulo de rotação do círculo variando de -π a π.

Pela figura podemos notar que a altura do gnômon corresponde a 2r e seu comprimento a 2πr, ou seja, o comprimento da circunferência do círculo utilizado. Obviamente estes dados são úteis na hora de se dimensionar o relógio.

Conforme Carl menciona em seu site, este tipo de relógio é universal, podendo ser utilizado em qualquer latitude. As linhas horárias são paralelas entre si, igualmente espaçadas e simétricas em relação ao ponto central que representa , simultaneamente, 6:00 (6 a.m.) e 18:00 (6 p.m.), sendo que os extremos representam o meio-dia (12:00) O gnômon, na forma de um ciclóide, é posicionado de forma a ficar perpendicular ao plano das linhas horárias; sendo que este deve ficar paralelo ao eixo polar da Terra, ou seja, inclinado em um ângulo correspondente à latitude do local. Exatamente da mesma forma que um relógio polar tradicional é orientado. A figura a seguir dá uma idéia geral.

Linhas horárias de um relógio ciclóide polar (por Carl Sabanski)

A exemplo do relógio polar tradicional as linhas horárias aumentam a cada 15º, porém o que faz do ciclóide polar uma desenho único é o fato de o plano horário ser tangente à um único ponto do gnômon em um dado horário (vide figura acima).

As linhas horárias podem ser determindas variando-se o ângulo horário entre -90º e +90º; sendo que, a distância X de cada linha horária ao centro pode ser calculado como segue:

X = r ( h / 90 ± 1 ) π

onde, h é o ângulo horário, em graus, dado por:

h = (T - 12) * 15º

sendo T a hora de 0 a 23, expressa em horas decimais.

Note que 1 é adicionado para as horas da manhã e subtraído para as da tarde. Isso faz com que X varie de πr a -πr.

É possível calcular as coordenadas (x, y) do ciclóide baseado no ângulo horário h. As figuras anteriores mostram que quando o período de 1 hora passou e o ângulo horário variou 15º o círculo terá girado um ângulo de 30º, ou seja, f = 2h ± 180°. Vale lembrar que os ângulos horários variam de ±90° enquanto o círculo gira em ±180°. Assim as equações podem ser escritas como segue:

x = r { ( h / 90 ± 1) π - sen 2h }

y = r ( 1 + cos 2h )

Estas são as equações que usei para gerar a tabela de coordenadas mencionada mais adiante.

Obviamente antes de construir o relógio de sol definitivo, que pretendo fazer em metal cortado com laser, construí um pequeno modelo de madeira de 20 x 40 cm para estar seguro dos cálculos. A curva ciclóide foi desenhada em um CAD (DeltaCad) através de uma tabela com as coordenadas (x,y) para cada ângulo de rotação. Para melhorar a precisão usei um incremento de 1 grau, assim sendo a tabela ficou com 361 pontos. O desenho foi impresso em duas folhas A4, em uma impressora de jato de tinta comum, e depois transportado para o compensado, que foi cortado com uma serra tico-tico.

Para o modelo utilizei retalhos de compensado com 20 mm de espessura, que podem ser encontrados gratuitamente nas lojas que vendem este tipo de material cortado sob demanda. Como se trata apenas de um modelo não investi muito no acabamento. Apenas lixei tudo e marquei as linhas horárias com uma caneta preta.

As imagens a seguir dão uma idéia do resultado e a precisão alcançada. Vale lembrar que as fotos foram tiradas nos dias 22 e 23 de fevereiro quando a equação do tempo corresponde a 13 minutos, ou seja, o horário do relógio de sol está atrasado em 13 minutos se comparado ao horário civil (ajustei meu relógio de acordo com o horário fornecido pelo GPS). A correção da longitude foi feita através da orientação do protótipo.

Como os resultados foram muito bons, devo seguir adiante com o projeto. Em alguns meses coloco no blog as fotos do relógio definitivo.

Para quem quiser ter uma idéia, em 3D, de como esse relógio funciona basta recorrer ao modelo animado, desenvolvido com o Google Sketchup - GS, por Phil Walker aqui. Estando no site do Phil (aqui) não deixe de explorá-lo, pois além dos modelos de relógios de sol no GS tem outras coisas bem interessantes.

Observação: o grosso da parte técnica é uma tradução livre do site do Carl Sabanski já mencionado.